微積分講義

AP Calculus I（115 學年）教學與題解

依週次

• Week 1函數與反函數：指數與對數、反函數、一對一、反三角函數
• Week 2極限：單邊極限、無窮極限、sin x / x、有理化與代換、夾擠定理、漸近線
• Week 3連續性：連續的定義、不連續的種類、中間值定理與勘根
• Week 4微分 I：導數定義、積商法則、高階導數、連鎖律
• Week 5微分 II：隱函數微分、反三角與對數導數、e 的極限、對數微分法、反函數定理
• Week 6微分 III：線性近似、Rolle 與均值定理、增減判斷、斜漸近線、牛頓法
• Week 7函數作圖：極值、凹性與反曲點、線性逼近誤差、DISPADDD、隱函數作圖、梯度下降

考古題與作業

官方解答改寫成詳解，每題標出對應下方主題路線的段號，並註明官方解答的錯誤。

• HW1115-1 第一次作業：反函數、極限與夾擠、均值定理、對數微分、隱函數線性近似
• 112112 期中考（模組 11–14 班）：極限、對數微分證明、反函數、作圖、產量與彈性應用
• 1101A110-1 期中考（模組 13–16 班）：極限、連續可微、隱函數、收益利潤、根號函數作圖
• 1101B110-1 期中考（模組 17–19 班）：不用羅必達的極限、反函數、唯一解證明、作圖、最大長方形
• 1091109-1 期中考（模組 13–17 班）：極限、分段可微、隱函數凹性、羅必達、利潤、對數作圖

主題複習路線

週次的切法不一定順，同一個主題常散在好幾週。複習時照下面的順序讀，每段的連結直接跳到對應小節。標了延伸的是講義的 (*) 內容或證明，時間不夠可以先跳過。每段最後的「練習」是考到這個主題的考古題與作業，讀完可以直接練。

1. 函數、指數與對數

   §1.1 §1.2 §1.2.1

   定義域與值域、分段函數、指數對數的運算與方程式

   練習

   • 1126(a)
   • 1101B6(a)
   • 10917(a)

2. 反函數與反三角函數

   §1.3 §1.4 §1.5先讀 1

   求反函數、判斷一對一、$\sin^{-1}(\sin x)$ 這類主值範圍的題目

   練習

   • HW11(a)1(b)1(c)1(d)
   • 1101B4(a)
   • 10911(b)

3. 極限的概念與單邊極限

   §2.1先讀 1

   分段函數、絕對值、高斯符號的左右極限，判斷極限存不存在

   練習

   • HW12(e)

4. 算極限的技巧

   §2.3 §2.4先讀 3

   0/0 型、有理化、代換、三角極限、夾擠定理；$\frac{\sin x}{x}$ 的證明延伸

   練習

   • HW12(a)2(b)2(c)2(d)3(c)
   • 1121(a)1(b)3(b)
   • 1101A1(b)2(a)
   • 1101B1(b)1(c)
   • 10912(a)5(a)

5. 無窮極限與三種漸近線

   §2.2 §2.5 §6.4先讀 3、4

   垂直、水平漸近線、已知漸近線求參數；斜漸近線延伸，羅必達考試不能用

   練習

   • HW14(b)
   • 1121(c)5(d)
   • 1101A1(a)6(a)
   • 1101B1(a)6(e)
   • 10911(a)1(b)7(d)

6. 連續性與中間值定理

   §3.1 §3.2 §3.3先讀 3、4

   分段函數求參數使其連續、判斷不連續種類、用中間值定理勘根

   練習

   • HW16(a)
   • 1101A2(a)
   • 10912(a)

7. 導數的定義與可微性

   §4.1 §4.2 §4.3 §4.4 §4.2.1先讀 4、6

   用定義求 $f'(a)$、尖點與垂直切線、分段函數可微條件；Darboux 定理延伸

   練習

   • HW13(a)4(a)
   • 1101A2(b)
   • 10912(b)

8. 微分法則與切線法線

   §4.4 §4.5 §4.5.1 §4.6先讀 7

   積商法則、三角與指數求導、求切線法線方程式；積商法則證明不考

   練習

   • HW15(b)
   • 1127(a)
   • 1101B2(b)
   • 10912(c)

9. 高階導數與連鎖律

   §4.7 §4.8先讀 8

   多層複合函數求導、$a^x$ 的導數、求 $f^{(n)}(x)$

   練習

   • HW15(c)
   • 1122(a)7(c)
   • 1101B2(a)
   • 10913(a)

10. 隱微分、反三角導數、反函數定理

    §5.1 §5.2 §5.5先讀 2、9

    由方程式求 $\frac{dy}{dx}$ 與 $\frac{d^2y}{dx^2}$、反三角複合函數求導、不解出反函數求它的導數

    練習

    • HW15(f)6(b)
    • 1122(a)2(b)4(a)
    • 1101A3(a)4(a)
    • 1101B2(b)3(a)4(b)
    • 10913(c)4(a)

11. 對數微分與 $e$ 的極限

    §5.3 §5.4 §5.4.1 §6.5先讀 1、4、9

    $\ln$ 與 $\log_a$ 求導、$f(x)^{g(x)}$ 求導、$1^\infty$ 型極限；§6.5延伸

    練習

    • HW15(a)5(d)5(e)
    • 1121(d)2(c)3(a)
    • 1101A1(c)3(b)
    • 1101B1(d)2(c)
    • 10911(c)2(c)3(b)5(b)

12. 線性近似

    §6.1先讀 8、9（隱函數題要 10）

    在指定點寫出 $L(x)$、估算附近的函數值

    練習

    • HW16(c)
    • 1124(b)
    • 1101A4(b)
    • 1101B3(b)
    • 10914(b)

13. 均值定理與增減

    §6.2 §6.3 證明先讀 6、9

    求滿足 MVT 的 $c$、找遞增遞減區間、證明方程式只有一根；定理證明與 Putnam 題延伸

    練習

    • HW13(b)6(a)
    • 1124(c)
    • 1101A5(b)6(b)
    • 1101B4(a)56(b)

14. 極值

    §7.1 Fermat先讀 13

    找臨界點、一階導數判別、閉區間上的最大最小值；Fermat 定理證明不考

    練習

    • 1126(b)
    • 1101A5(a)5(d)
    • 1101B7
    • 10916(c)6(d)

15. 凹性與反曲點

    §7.2 §7.2.1先讀 12、14

    判斷凹向、找反曲點、二階導數判別極值、線性近似是高估還是低估

    練習

    • HW16(d)
    • 1125(b)
    • 1101A5(b)6(c)
    • 1101B6(c)
    • 10914(c)7(c)

16. 函數作圖

    §7.3 §7.3.1先讀 5、14、15

    用 DISPADDD 流程完整畫圖；隱函數作圖延伸

    練習

    • 1125
    • 1101A6
    • 1101B6
    • 10917

17. 數值方法延伸

    §6.6 §7.4先讀 12、14

    牛頓法迭代幾步、判斷失效原因；一維梯度下降