Week 3　連續性（Continuity）

詳解

兩段在各自範圍內都連續（左段分母 $\sin x$ 在 $(-\pi,0)$ 不為 0），只要看接縫 $x=0$。

右邊：$f(0)=0+5=5$，右極限也是 $5$。

左邊：用 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$，

$$\lim_{x\to0^-}\frac{x}{a\sin x}=\frac1a\cdot\lim_{x\to0^-}\frac{1}{\frac{\sin x}{x}}=\frac1a$$

連續要求 $\dfrac1a=5$。

$a=\dfrac15$

詳解

$\cos$ 連續，極限搬進去：

$$\lim_{x\to0}\cos\left(\frac{\sin x}{x}\cdot\pi\right)=\cos\left(\pi\cdot\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\right)=\cos(\pi\cdot1)$$

$-1$

詳解

三題都是一層一層往裡面代。

(a) $\tan^{-1}1=\dfrac\pi4$，所以 $\sin\left(2\cdot\frac\pi4\right)=\sin\frac\pi2=1$，答案 $2^1=2$。

(b) $x\to+\infty$ 時 $\tan^{-1}x\to\dfrac\pi2$（Week 1 的反正切值域是 $\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)$，圖形有水平漸近線 $y=\frac\pi2$）。$\sin$ 連續，答案 $\sin\frac\pi2=1$。

(c) 底數和指數都在變，先換成 $e$ 的次方：

$$x^{\ln x}=e^{\ln x\cdot\ln x}=e^{(\ln x)^2}$$

$x\to0^+$ 時 $\ln x\to-\infty$，平方後 $(\ln x)^2\to+\infty$，所以 $e^{(\ln x)^2}\to+\infty$。

(a) $2$　(b) $1$　(c) $+\infty$（三題都與講義答案相同）

詳解

$f$：左極限 $\displaystyle\lim_{x\to0^-}x=0$，右極限 $\displaystyle\lim_{x\to0^+}(x^2+1)=1$。兩邊都存在但不相等，是跳躍不連續。

$g$：$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$，左右極限都是 $1$，但 $g(0)=3\ne1$，是可去不連續。把 $g(0)$ 改成 $1$ 就連續。

$f$：跳躍不連續；$g$：可去不連續

詳解

三段各自連續（第一段 $x\lt 2$ 不含分母為 0 的點），檢查接縫 $x=2$ 與 $x=3$。

$x=2$：左邊 $\dfrac{x^2-4}{x-2}=x+2\to4$；中間那段在 $2$ 的值是 $4a-2b+3$。

$$4a-2b+3=4\ \Longrightarrow\ 4a-2b=1$$

$x=3$：中間那段的左極限 $9a-3b+3$；右段的值 $6-a+b$。

$$9a-3b+3=6-a+b\ \Longrightarrow\ 10a-4b=3$$

第一式乘 2 得 $8a-4b=2$，與第二式相減：$2a=1$，$a=\frac12$，代回 $2-2b=1$，$b=\frac12$。

驗算：$x=2$ 處 $2-1+3=4$ ✓；$x=3$ 處 $\frac92-\frac32+3=6$，$6-\frac12+\frac12=6$ ✓。

$a=b=\dfrac12$（與講義答案相同）

詳解

關鍵事實：任何一個小區間裡都同時有無限多個有理數和無理數。所以不管 $x$ 多靠近 $a$，都可以只挑有理數靠近，也可以只挑無理數靠近。兩種靠法得到的值不同，極限就不存在。

(a) 任一點 $a$ 附近，沿有理數 $f=0$、沿無理數 $f=1$，極限不存在。處處不連續。

(b) 沿有理數 $f(x)=0\to0$，沿無理數 $f(x)=x\to a$。

• $a\ne0$：兩個靠近值 $0$ 和 $a$ 不同，極限不存在，不連續。
• $a=0$：不管哪種 $x$ 都有 $|f(x)|\le|x|$，由夾擠 $\lim_{x\to0}f(x)=0=f(0)$，連續。

(c)（Thomae 函數）

• 有理數點 $a=\frac pq$：$f(a)=\frac1q\gt 0$，但沿著無理數靠近 $a$，函數值都是 $0$，所以極限若存在只能是 $0\ne f(a)$。不連續。（$0=\frac01$ 也是有理數，$f(0)=1$，同樣不連續。）
• 無理數點 $a$：$f(a)=0$，要說明 $x\to a$ 時 $f(x)\to0$。無理數 $x$ 的 $f(x)=0$ 沒問題；麻煩的是有理數。給任意小的門檻 $\frac1N$，在 $(a-1,a+1)$ 裡分母 $q\le N$ 的有理數只有有限多個（每個 $q$ 最多 $2q$ 個），而且都不等於 $a$。把 $x$ 限制在離 $a$ 比它們都近的範圍內，那裡的有理數分母都 $\gt N$，$f(x)\lt\frac1N$。門檻可以任意小，所以極限是 $0=f(a)$，連續。

(a) 處處不連續　(b) 只在 $x=0$ 連續　(c) 在所有無理數連續、所有有理數不連續

詳解

令 $g(x)=\sin x-\dfrac{1}{1+x^2}$。$\sin x$ 連續，$\frac{1}{1+x^2}$ 的分母永遠 $\ge1$，也連續，所以 $g$ 在整條實數線上連續。

挑 $x=0$ 與 $x=\frac\pi2$：

$$g(0)=0-1=-1\lt 0,\qquad g\left(\tfrac\pi2\right)=1-\frac{1}{1+\frac{\pi^2}{4}}\gt 0$$

（後者因為 $1+\frac{\pi^2}4\gt 1$，分數小於 1。）由勘根定理，存在 $c\in\left(0,\frac\pi2\right)$ 使 $g(c)=0$，即 $\sin c=\dfrac{1}{1+c^2}$。

在 $\left(0,\frac\pi2\right)$ 內有解

詳解

圖形上看：$f$ 的圖形從左邊界 $x=0$ 走到右邊界 $x=1$，高度一直在 $0$ 到 $1$ 之間，對角線 $y=x$ 從左下角連到右上角。一筆畫過去一定會碰到對角線，交點就是不動點。

$f(c)=c$ 等價於 $f(c)-c=0$，令 $g(x)=f(x)-x$，在 $[0,1]$ 上連續。

Case 1：$f(0)=0$ 或 $f(1)=1$，不動點已經找到。

Case 2：其餘情形，即 $f(0)\ne0$ 且 $f(1)\ne1$。因為值域在 $[0,1]$，這代表 $f(0)\gt 0$ 且 $f(1)\lt 1$，所以

$$g(0)=f(0)\gt 0,\qquad g(1)=f(1)-1\lt 0$$

由勘根定理，存在 $c\in(0,1)$ 使 $g(c)=0$，即 $f(c)=c$。

得證

詳解

不連續：$\displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}x=0$，但 $f(0)=0+1=1$，左極限不等於函數值，$x=0$ 不連續（跳躍不連續）。

沒有解：分兩段看。

• $x\in[-1,0)$：$f(x)=x=\frac12$ 得 $x=\frac12$，不在這段範圍內。
• $x\in[0,1]$：$f(x)=x+1=\frac12$ 得 $x=-\frac12$，也不在範圍內。

從圖看，$f$ 的值域是 $[-1,0)\cup[1,2]$，在 $x=0$ 直接從 $0$ 跳到 $1$，把 $\frac12$ 整個跳過去。

$f(c)=\frac12$ 無解。這說明 IVT 的「連續」條件不能拿掉

詳解

$f$ 是多項式與指數函數的和，處處連續。要兩個根，就找三個點讓正負號變兩次。

$$\begin{aligned} f(-2)&=-2e-e^{-2}-e^{-4}+3\\ &\approx-5.44-0.14-0.02+3=-2.59\lt 0\\ f(0)&=0-1-1+3=1\gt 0\\ f(1)&=e-e-e^2+3=3-e^2\approx-4.39\lt 0 \end{aligned}$$

（$e^2\approx7.39\gt 3$，$2e\approx5.44\gt 3$。）

在 $[-2,0]$ 上由負變正，有根 $c_1\in(-2,0)$；在 $[0,1]$ 上由正變負，有根 $c_2\in(0,1)$。兩個區間不重疊，$c_1\ne c_2$。

至少兩個根，分別在 $(-2,0)$ 與 $(0,1)$

詳解

$f(2)$：$\dfrac{\sqrt{4-4}}{1}=0$。

極限：分子分母同除以 $x$（$x\gt 0$ 時 $\sqrt{x^2}=x$）：

$$\frac{\sqrt{x^2-2x}}{x-1}=\frac{\sqrt{1-\frac2x}}{1-\frac1x}\ \xrightarrow{x\to\infty}\ \frac{1}{1}=1$$

有解：在 $[2,\infty)$ 上 $x^2-2x=x(x-2)\ge0$、$x-1\ge1$，$f$ 連續。

$f(2)=0\lt\frac12$。極限是 $1$，所以 $x$ 夠大時 $f(x)\gt\frac12$；具體挑 $x=3$：$f(3)=\dfrac{\sqrt3}{2}\approx0.87\gt\frac12$。在 $[2,3]$ 上用 IVT，存在 $c\in(2,3)$ 使 $f(c)=\frac12$。

$f(2)=0$，$\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=1$，$f(x)=\frac12$ 在 $(2,3)$ 有解

詳解

(a) $\sin\frac\pi x$ 在 $0$ 附近瘋狂震盪，沒有極限，但它被夾在 $-1$ 與 $1$ 之間：

$$-4x^2\le4x^2\sin\left(\frac\pi x\right)\le4x^2$$

兩邊 $x\to0^+$ 都趨近 $0$，夾擠得 $\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=0$。

(b) $x\gt 0$ 時是連續函數的乘積與合成，連續；$x\lt 0$ 時是常數 $0$，連續。接縫 $x=0$：右極限 $0$（(a)）、左極限 $0$、$f(0)=0$，三者相等。所以處處連續。

(c)

$$f(1)=4\sin\pi=0,\qquad f(2)=16\sin\frac\pi2=16$$

$f$ 在 $[1,2]$ 上連續，且 $f(1)=0\lt 10\lt 16=f(2)$，由 IVT 存在 $c\in(1,2)$ 使 $f(c)=10$。

(a) $0$　(b) 是　(c) $f(1)=0$，$f(2)=16$，有解

詳解

(a) 令 $g(x)=\sin x\tan x-1$。在 $\left[\frac\pi4,\frac\pi3\right]$ 上 $\cos x\ne0$，$\tan x$ 有定義且連續，所以 $g$ 連續。

$$g\left(\tfrac\pi4\right)=\frac{\sqrt2}{2}\cdot1-1\lt 0,\qquad g\left(\tfrac\pi3\right)=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\sqrt3-1=\frac12\gt 0$$

由勘根定理，存在 $c\in\left(\frac\pi4,\frac\pi3\right)$ 使 $\sin c\tan c=1$。

(b) 把 (a) 的方程式化簡，看這個 $c$ 到底是誰：

$$\begin{aligned} \sin x\tan x &= 1 \\ &\iff \frac{\sin^2x}{\cos x}=1 \\ &\iff 1-\cos^2x=\cos x \\ &\iff \cos^2x+\cos x-1=0 \end{aligned}$$

把 $\cos x$ 當未知數解二次方程：$\cos x=\dfrac{-1\pm\sqrt5}{2}$。$\frac{-1-\sqrt5}{2}\approx-1.62$ 超出 $[-1,1]$ 不可能，所以 $\cos c=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}$。

$c$ 落在 $[0,\pi]$ 內，正好是 $\cos^{-1}$ 的值域，所以 $c=\cos^{-1}\left(\frac{-1+\sqrt5}{2}\right)$。再由 (a)，$\frac\pi4\lt c\lt\frac\pi3$，得證。

(a) 有解　(b) 得證；$\cos^{-1}\frac{-1+\sqrt5}{2}\approx0.905$，介於 $\frac\pi4\approx0.785$ 與 $\frac\pi3\approx1.047$ 之間