109 學年第 1 學期　微積分 1 期中考

詳解

考點：$x\to-\infty$ 時 $e^x\to0$。分子分母的極限都存在、分母不為 $0$，直接代。

$$\lim_{x\to-\infty}\frac{2e^x+5}{3-e^x}=\frac{2\cdot0+5}{3-0}$$

$\dfrac53$

官方給分：答案 3 分、寫出 $e^x\to0$ 2 分。用羅必達扣 5 分（這題也不是不定型，根本不能用）。

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考點：由內往外。$\ln x\to-\infty$，所以 $1+\ln x\to-\infty$；再用 $\tan^{-1}$ 的水平漸近線 $y=-\frac\pi2$。

令 $y=1+\ln x$，$x\to0^+$ 時 $y\to-\infty$：

$$\lim_{x\to0^+}\tan^{-1}(1+\ln x)=\lim_{y\to-\infty}\tan^{-1}y=-\frac\pi2$$

$-\dfrac\pi2$

官方給分：答案 3 分、寫出 $\ln x\to-\infty$ 2 分。只畫出 $\tan^{-1}x$ 的圖和水平漸近線但沒做完，給 1 分。

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考點：長得像 $\left(1+\frac ax\right)^x$，但底趨近 $\frac1e$ 不是 $1$。這不是 $1^\infty$ 不定型：小於 $1$ 的數一直自乘只會趨近 $0$。

底數 $\frac1e+\frac ex\to\frac1e\approx0.37$。$x\gt22$ 時 $\frac ex\lt\frac{e}{22}\lt0.13$，所以底數介於 $0$ 和 $\frac12$ 之間：

$$0\lt\left(\frac1e+\frac ex\right)^x\lt\left(\frac12\right)^x\;\longrightarrow\;0$$

夾擠得極限為 $0$。

$0$

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考點：分段點要算左右極限。右邊的 $x^{x+1}$ 底 $\to0$、指數 $\to1$，不是不定型；左邊湊 $\frac{\sin x}{x}$。

右極限：$x^{x+1}=e^{(x+1)\ln x}$，$(x+1)\ln x\to1\cdot(-\infty)=-\infty$，所以 $x^{x+1}\to0$。

左極限：分子分母同乘 $1+\cos x$，用 $1-\cos^2x=\sin^2x$：

$$\frac{2(1-\cos x)}{x}=\frac{2\sin^2x}{x(1+\cos x)}=\frac{\sin x}{x}\cdot\sin x\cdot\frac{2}{1+\cos x}\;\longrightarrow\;1\cdot0\cdot1=0$$

左右極限都是 $0$，所以 $\lim_{x\to0}f(x)=0=f(0)$。

$\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=0$，$f$ 在 $0$ 連續

官方給分：左右極限各 2 分，結論 1 分。官方左極限的另解用了羅必達，考試不能用。

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考點：分段點的可微性用定義算左右導數。左邊是講義的標準極限，右邊會變成 $x^x$。

右導數：

$$\lim_{x\to0^+}\frac{x^{x+1}-0}{x}=\lim_{x\to0^+}x^x=\lim_{x\to0^+}e^{x\ln x}$$

這裡要用 $\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln x=0$。它是 $0\cdot(-\infty)$ 型，講義只在週六題 25 用羅必達示範過，考試時直接引用即可。於是右導數 $=e^0=1$。

左導數：同 (a) 的變形，

$$\lim_{x\to0^-}\frac{2(1-\cos x)}{x^2}=\lim_{x\to0^-}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\frac{2}{1+\cos x}=1\cdot1=1$$

（也就是講義週二題 17 的 $\frac{1-\cos x}{x^2}\to\frac12$ 乘 $2$。）左右導數相等。

極限為 $1$，$f$ 在 $0$ 可微，$f'(0)=1$

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考點：$x\gt0$ 那段底和指數都有 $x$，用對數微分；$x\lt0$ 那段用商法則。

$x\gt0$：$\ln f=(x+1)\ln x$，兩邊微分（1 分）：

$$\frac{f'}{f}=\ln x+\frac{x+1}{x}=\ln x+1+\frac1x\;\Longrightarrow\;f'(x)=x^{x+1}\left(\ln x+1+\frac1x\right)$$

$x\lt0$：

$$f'(x)=\frac{2\sin x\cdot x-2(1-\cos x)\cdot1}{x^2}=\frac{2(x\sin x+\cos x-1)}{x^2}$$

$f'(x)=\begin{cases}x^{x+1}\left(\ln x+1+\frac1x\right), & x\gt0\\[1mm] \dfrac{2(x\sin x+\cos x-1)}{x^2}, & x\lt0\end{cases}$

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考點：連鎖律求 $f'$；$f''$ 是乘積 $e^{\tan x}\cdot\sec^2x$ 的導數，每個因子都要再用一次連鎖律。

$$f'(x)=e^{\tan x}\sec^2x$$

乘法法則，其中 $(\sec^2x)'=2\sec x\cdot\sec x\tan x=2\sec^2x\tan x$：

$$f''(x)=e^{\tan x}\sec^2x\cdot\sec^2x+e^{\tan x}\cdot2\sec^2x\tan x$$

$f'(x)=e^{\tan x}\sec^2x$；$f''(x)=e^{\tan x}\sec^2x\,(\sec^2x+2\tan x)$

官方給分：$f'$ 的連鎖律 2 分、$(\tan x)'$ 1 分、$f''$ 的乘法法則 1 分、$(\sec^2x)'$ 1 分。

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考點：$2^{x^2}$ 底是常數，用 $(a^u)'=a^u\ln a\cdot u'$；$x^{e^x}$ 底和指數都有 $x$，用對數微分（或寫成 $e^{e^x\ln x}$）。

$$\left(2^{x^2}\right)'=2^{x^2}\ln2\cdot2x$$

$x^{e^x}=e^{e^x\ln x}$，指數用乘法法則：

$$\left(x^{e^x}\right)'=x^{e^x}\left(e^x\ln x+\frac{e^x}{x}\right)$$

$2\ln2\cdot x\,2^{x^2}+x^{e^x}e^x\left(\ln x+\dfrac1x\right)$

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考點：$(\sin^{-1}x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，加上乘法法則和連鎖律。算完兩項會互相抵消。

$$\left(\sin^{-1}x+\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)+\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=\sin^{-1}x$$

$\sin^{-1}x$

答案這麼乾淨不是巧合：出題者是先挑好答案再往回湊題目。算到最後剩一項時，通常代表沒算錯。

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考點：隱微分。$y^{2/3}$ 微分後要乘 $y'$，$xy$ 用乘法法則。

$$3\cdot\frac23y^{-1/3}y'+y+xy'=0\quad\text{即}\quad2y^{-1/3}y'+y+xy'=0\qquad(*)$$

代 $(3,8)$，$8^{-1/3}=\frac12$：

$$y'+8+3y'=0\;\Longrightarrow\;y'=-2$$

$f'(3)=-2$

官方解答這裡寫成 $y'=2$，是筆誤（見頁首）。

詳解 $$L(x)=f(3)+f'(3)(x-3)=8-2(x-3),\qquad f(3.01)\approx L(3.01)=8-0.02$$

$f(3.01)\approx7.98$

官方給分：寫出 $L(x)$ 的公式、代入數值、算出估計值各 1 分。

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考點：對 $(*)$ 再微分一次求 $y''$。$y''\gt0$ 表示凹口向上，切線在曲線下方，線性近似是低估。

對 $(*)$ 每一項微分（$2y^{-1/3}y'$ 是乘積，$xy'$ 也是）：

$$-\frac23y^{-4/3}(y')^2+2y^{-1/3}y''+y'+\bigl(y'+xy''\bigr)=0$$

代 $(3,8)$、$y'=-2$：$8^{-4/3}=\frac1{16}$，所以

$$-\frac23\cdot\frac1{16}\cdot4+y''-4+3y''=0\;\Longrightarrow\;4y''=4+\frac16=\frac{25}6\;\Longrightarrow\;y''=\frac{25}{24}$$

$y''(3)\gt0$，而且 $y''$ 連續，所以 $x=3$ 附近凹口向上，切線在曲線下方。

$\dfrac{d^2y}{dx^2}\Big|_{(3,8)}=\dfrac{25}{24}$；估計值 $7.98$ 比 $f(3.01)$ 小（低估）

常見失分：微 $y^{-1/3}$ 時漏乘 $y'$，或 $xy'$ 忘了用乘法法則（少一個 $y'$）。

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不定型：分子分母都 $\to0$，$\frac00$ 型。

羅必達：

$$\overset{L}{=}\lim_{x\to0}\frac{\frac{2x}{1+x^4}}{3\sin3x}=\lim_{x\to0}\frac{2}{9(1+x^4)}\cdot\frac{3x}{\sin3x}=\frac29$$

講義範圍內：湊兩個標準極限。$\frac{\tan^{-1}u}{u}\to1$（令 $v=\tan^{-1}u$，$\frac{v}{\tan v}\to1$），以及 $\frac{1-\cos u}{u^2}\to\frac12$（週二題 17）：

$$\frac{\tan^{-1}(x^2)}{1-\cos3x}=\frac{\tan^{-1}(x^2)}{x^2}\cdot\frac{(3x)^2}{1-\cos3x}\cdot\frac19\;\longrightarrow\;1\cdot2\cdot\frac19$$

$\dfrac29$

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不定型：$\cos x\to1$，$\csc(x^2)=\frac{1}{\sin(x^2)}\to\infty$，$1^\infty$ 型。取 $\ln$ 變成 $\dfrac{\ln(\cos x)}{\sin(x^2)}$，$\frac00$ 型。

羅必達：

$$\lim_{x\to0}\frac{\ln\cos x}{\sin(x^2)}\overset{L}{=}\lim_{x\to0}\frac{-\tan x}{2x\cos(x^2)}=-\frac12$$

講義範圍內：令 $u=\cos x-1\to0$，用 $\frac{\ln(1+u)}{u}\to1$（週五題 13）：

$$\frac{\ln(\cos x)}{\sin(x^2)}=\frac{\ln(1+u)}{u}\cdot\frac{\cos x-1}{x^2}\cdot\frac{x^2}{\sin(x^2)}\;\longrightarrow\;1\cdot\left(-\frac12\right)\cdot1$$

所以原式 $=e^{-1/2}$。

$e^{-1/2}=\dfrac1{\sqrt e}$

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不定型：$x^3\to\infty$，括號 $\to0$，$\infty\cdot0$ 型。令 $y=\frac1x\to0^+$ 改寫成分式：

$$x^3\left(\frac1x-\sin\frac1x\right)=\frac{y-\sin y}{y^3}\quad(\tfrac00\text{ 型})$$

羅必達兩次（每次用之前都確認還是 $\frac00$）：

$$\overset{L}{=}\lim_{y\to0^+}\frac{1-\cos y}{3y^2}\overset{L}{=}\lim_{y\to0^+}\frac{\sin y}{6y}=\frac16$$

（第二步也可以直接用 $\frac{1-\cos y}{y^2}\to\frac12$，得 $\frac12\cdot\frac13$。）

$\dfrac16$

官方另一種做法是不換元，直接對 $\frac{1/x-\sin(1/x)}{x^{-3}}$ 連用三次羅必達，計算量大很多。換元 $y=\frac1x$ 是處理 $x\to\infty$ 時 $\sin\frac1x$ 的標準手法。

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$18000-0.5x^2\ge0\iff x^2\le36000$，再加上 $x\ge0$。

$I=\left[0,\sqrt{36000}\right]=\left[0,60\sqrt{10}\right]\approx[0,189.7]$

詳解 $$T(x)=x\,p(x)-C(x)=x(18000-0.5x^2)-(1000+3000x)$$

$T(x)=-0.5x^3+15000x-1000$

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考點：閉區間上的最大值：臨界點加端點比大小。最後要回答的是單價，不是數量。

臨界點（2 分）：$T'(x)=-1.5x^2+15000=0\iff x^2=10000\iff x=100$（在 $I$ 內）。

比較（2 分）：

$$T(0)=-1000,\qquad T(60\sqrt{10})=-1000-3000\cdot60\sqrt{10}\lt0,\qquad T(100)=100\cdot13000-301000=999000$$

所以 $x=100$ 時利潤最大。只要判斷正負就夠，不用算出精確值。

單價（2 分）：$p(100)=18000-0.5\cdot10000=13000$。

單價 $13000$ 元（此時賣 $100$ 單位，利潤 $999000$ 元）

常見失分：答「$x=100$」就停了。題目問的是單價。

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考點：固定成本是常數，只會讓 $T$ 整條上下平移，最高點的位置不變。用導數說：常數微分是 $0$，$T'$ 和固定成本無關，臨界點不變。

不會變，因為 $T'(x)=-1.5x^2+15000$ 不含 $C(0)$

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分母 $x-1\neq0$；$\ln$ 裡面要大於 $0$，絕對值只排除 $0$，所以 $2x+1\neq0$。

$(-\infty,-\frac12)\cup(-\frac12,1)\cup(1,\infty)$

詳解 $$f'(x)=\frac{2}{2x+1}-\frac{1}{x-1}=\frac{2(x-1)-(2x+1)}{(2x+1)(x-1)}=\frac{-3}{(2x+1)(x-1)}$$

$(2x+1)(x-1)$ 在兩根 $-\frac12$、$1$ 之間為負，所以 $f'$ 在 $(-\frac12,1)$ 為正，兩側為負。

$f'(x)=\dfrac{-3}{(2x+1)(x-1)}$；遞增 $(-\frac12,1)$；遞減 $(-\infty,-\frac12)$、$(1,\infty)$

官方把兩個遞減區間寫成聯集 $(-\infty,-\frac12)\cup(1,\infty)$。嚴格說 $f$ 在聯集上並不遞減：$-1\lt2$，但 $f(-1)=\ln\frac12\lt f(2)=\ln5$。分開列比較正確。

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$f'(x)=-3(2x^2-x-1)^{-1}$，連鎖律：

$$f''(x)=3(2x^2-x-1)^{-2}(4x-1)=\frac{3(4x-1)}{(2x^2-x-1)^2}$$

分母是平方恆正，正負只看 $4x-1$，但要扣掉定義域外的 $-\frac12$ 和 $1$。

凹口向上 $(\frac14,1)$、$(1,\infty)$；凹口向下 $(-\infty,-\frac12)$、$(-\frac12,\frac14)$

反曲點在 $x=\frac14$：$f\left(\frac14\right)=\ln\left|\frac{1.5}{-0.75}\right|=\ln2$，剛好落在水平漸近線上。官方的區間沒扣掉 $-\frac12$、$1$（見頁首）。

詳解

垂直：$x\to1$ 時 $\left|\frac{2x+1}{x-1}\right|\to\infty$，$f\to+\infty$；$x\to-\frac12$ 時絕對值裡 $\to0^+$，$f\to-\infty$。

水平：$x\to\pm\infty$ 時 $\frac{2x+1}{x-1}\to2$，$\ln$ 連續，$f\to\ln2$。

垂直漸近線 $x=1$、$x=-\frac12$；水平漸近線 $y=\ln2$

官方給分：垂直、水平各 2 分。

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補上截距：$f=0\iff|2x+1|=|x-1|\iff x=0$ 或 $x=-2$，所以曲線過 $(-2,0)$ 和原點。