Week 2　極限（Limits）

詳解

代入得 $\frac00$。分子因式分解，$x\ne2$ 所以可以約掉 $x-2$：

$$\lim_{x\to2}\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4$$

$4$

詳解

代入得 $\frac{1+\cos\pi}{0}=\frac00$。用倍角公式 $\cos2x=2\cos^2x-1$，分子變成 $2\cos^2x$：

$$\lim_{x\to\frac\pi2}\frac{2\cos^2x}{\cos x}=\lim_{x\to\frac\pi2}2\cos x=0$$

$0$

詳解

$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$，$x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)$，約掉 $x-1$：

$$\lim_{x\to1}\frac{x^2+x+1}{(x+1)(x^2+1)}=\frac{3}{2\cdot2}=\frac34$$

$\dfrac34$（與講義答案相同）

詳解

右邊 $x\gt0$ 用 $x^2+1$，左邊 $x\lt0$ 用 $x$：

$$\lim_{x\to0^+}(x^2+1)=1,\qquad \lim_{x\to0^-}x=0$$

左右不相等，所以 $\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)$ 不存在。

右極限 $1$，左極限 $0$

詳解

$x\gt0$ 時 $|x|=x$，比值是 $1$；$x\lt0$ 時 $|x|=-x$，比值是 $-1$。

右極限 $1$，左極限 $-1$（雙邊極限不存在）

詳解

$x\to2^+$：$x$ 是 $2.001$ 這種數，$\lfloor x\rfloor=2$。

$x\to2^-$：$x$ 是 $1.999$ 這種數，$-x=-1.999$，不超過它的最大整數是 $-2$。

$\displaystyle\lim_{x\to2^+}\lfloor x\rfloor=2,\qquad\lim_{x\to2^-}\lfloor -x\rfloor=-2$

詳解

關鍵是 $\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|$，不是 $x-3$。$x\lt3$ 時 $|x-3|=3-x$：

$$\lim_{x\to3^-}\frac{(x-1)(x-3)}{3-x}=\lim_{x\to3^-}\bigl(-(x-1)\bigr)=-2$$

$-2$

詳解

(a) $x$ 略大於 $3$，$\lfloor x\rfloor=3$，極限 $\frac33=1$。

(b) $x$ 略小於 $3$，$\lfloor x\rfloor=2$，極限 $\frac23$。

(c) $x\to0^+$ 時 $\frac1x\to+\infty$，$\sin\frac1x$ 在 $-1$ 到 $1$ 之間一直來回。用定義 2.1.2 找兩種靠近方式：取 $x_n=\frac1{2n\pi}$，$\sin\frac1{x_n}=\sin(2n\pi)=0$；取 $\hat x_n=\frac1{2n\pi+\pi/2}$，$\sin\frac1{\hat x_n}=1$。兩個數列都趨近 $0^+$，函數值卻分別停在 $0$ 和 $1$，極限不存在。

(d) $x\to+\infty$ 時 $\frac1x\to0$，$\sin\frac1x\to\sin0=0$。(c) 和 (d) 長得像，但 $\frac1x$ 跑去的地方完全不同。

(a) $1$　(b) $\dfrac23$　(c) DNE　(d) $0$（與講義答案相同）

詳解

$x\ne2$ 時 $g(x)=\dfrac{(x+6)(x-2)}{x(x-2)}=\dfrac{x+6}{x}$，兩邊靠近 $2$ 都用這個式子，極限是 $\frac82=4$。左右都是 $4$，雙邊極限也是 $4$。

$g(2)$ 是另外規定的 $3$。這題正好說明極限不管 $f(a)$ 是多少。

三個極限都是 $4$，$g(2)=3$（與講義答案相同）

詳解

$\ln x$ 只定義在 $x\gt0$，所以只能從右邊靠近 $0$。$x$ 越接近 $0$，$\ln x$ 越負（例如 $\ln10^{-10}\approx-23$）：

$$\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty$$

只有右極限也夠了，因為定義只要求其中一個爆掉。

$x=0$ 是垂直漸近線

詳解

分母 $x^2\to0$，而且不論左右都是正的，所以

$$\lim_{x\to0}\frac1{x^2}=\infty$$

$x=0$ 是垂直漸近線

詳解

分母為 $0$ 的可疑點是 $x=\pm9$。先因式分解：

$$f(x)=\frac{(x-9)^2}{(x-9)(x+9)}=\frac{x-9}{x+9}\quad(x\ne9)$$

$x=9$：$\displaystyle\lim_{x\to9}\frac{x-9}{x+9}=0$，只是一個洞，不是漸近線。

$x=-9$：分子趨近 $-18$，分母趨近 $0$，$\displaystyle\lim_{x\to-9^+}f(x)=-\infty$（分母 $0^+$）、$\displaystyle\lim_{x\to-9^-}f(x)=+\infty$。

只有 $x=-9$

詳解

(a) 分母 $(x-2)(x+2)$ 在 $x=\pm2$ 為 $0$，分子在這兩點分別是 $9$、$5$，不為 $0$，約不掉，兩點都會爆掉。

(b) 令 $u=e^x$，分母 $u^2-u-6=(u-3)(u+2)=(e^x-3)(e^x+2)$。$e^x+2\gt0$ 永遠不為 $0$；$e^x=3$ 即 $x=\ln3$，此時分子 $e^x=3\ne0$，所以會爆掉。

(a) $x=2$、$x=-2$　(b) $x=\ln3$（與講義答案相同）

詳解

$\tan2x=\frac{\sin2x}{\cos2x}$。要用 $\frac{\sin\square}{\square}$，分母得湊成 $2x$：

$$\frac{\tan2x}{x}=\frac{\sin2x}{2x}\cdot\frac{2}{\cos2x}\ \longrightarrow\ 1\cdot\frac21=2$$

$2$

詳解

$\sqrt{x^2}=|x|$。所以 $\dfrac{\sin x}{|x|}=\dfrac{\sin x}{x}\cdot\dfrac{x}{|x|}$。

右邊 $\frac{x}{|x|}=1$，極限 $1$；左邊 $\frac{x}{|x|}=-1$，極限 $-1$。左右不同。

不存在（與講義答案相同）

詳解

上下同乘 $\sqrt{x^2+16}+4$：

$$\frac{(x^2+16)-16}{x^2\bigl(\sqrt{x^2+16}+4\bigr)}=\frac{1}{\sqrt{x^2+16}+4}\ \longrightarrow\ \frac18$$

$\dfrac18$

詳解

學有理化的樣子乘 $1+\cos x$，分子變成 $1-\cos^2x=\sin^2x$：

$$\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{\sin^2x}{x^2(1+\cos x)}=\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\cdot\frac{1}{1+\cos x}\ \longrightarrow\ 1\cdot\frac12$$

$\dfrac12$

詳解

先通分：$\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x\sqrt{1+x}}$，代入是 $\frac00$。分子有理化，乘 $\sqrt{1+x}+1$：

$$\frac{(1+x)-1}{x\sqrt{1+x}\bigl(\sqrt{1+x}+1\bigr)}=\frac{1}{\sqrt{1+x}\bigl(\sqrt{1+x}+1\bigr)}\ \longrightarrow\ \frac{1}{1\cdot2}$$

$\dfrac12$

詳解

(a) 展開：$2(x^2-6x+9)-18=2x^2-12x$，除以 $x$ 得 $2x-12\to-12$。

(b) 乘 $x+\sqrt{3x+4}$，分子 $x^2-(3x+4)=(x-4)(x+1)$：

$$\frac{(x-4)(x+1)}{(4-x)\bigl(x+\sqrt{3x+4}\bigr)}=\frac{-(x+1)}{x+\sqrt{3x+4}}\ \longrightarrow\ \frac{-5}{4+4}=-\frac58$$

(c) 立方根、五次方根沒辦法用平方差，改用 $1-t^n=(1-t)(1+t+\cdots+t^{n-1})$。令 $u=\sqrt[3]x$、$v=\sqrt[5]x$，兩者都趨近 $1$，而

$$\begin{aligned} 1-x &= 1-u^3 \\ &= (1-u)(1+u+u^2) \\[4pt] 1-x &= 1-v^5 \\ &= (1-v)(1+v+v^2+v^3+v^4) \end{aligned}$$

所以

$$\frac{1-u}{1-v}=\frac{1+v+v^2+v^3+v^4}{1+u+u^2}\ \longrightarrow\ \frac53$$

(a) $-12$　(b) $-\dfrac58$　(c) $\dfrac53$（與講義答案相同）

詳解

(a) 令 $u=\sin x$。$x\to0$ 時 $u\to0$，且 $x$ 在 $0$ 附近不等於 $0$ 時 $u\ne0$：

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin(\sin x)}{\sin x}=\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1$$

(b) 令 $u=1-\cos x\to0$（$x$ 在 $0$ 附近且 $x\ne0$ 時 $u\gt0$）。乘一個 $\frac uu$ 拆開：

$$\frac{\sin(1-\cos x)}{x^2}=\frac{\sin u}{u}\cdot\frac{1-\cos x}{x^2}\ \longrightarrow\ 1\cdot\frac12$$

第二個因子用題 17。

(a) $1$　(b) $\dfrac12$

詳解

$1-\cos2x=2\sin^2x$，所以 $\sqrt{1-\cos2x}=\sqrt2\,|\sin x|$。如果寫成 $\sqrt2\sin x$，就會錯得到 $\sqrt2$。

右邊 $x\gt0$ 附近 $\sin x\gt0$：$\dfrac{\sqrt2\sin x}{x}\to\sqrt2$。

左邊 $x\lt0$ 附近 $\sin x\lt0$，$|\sin x|=-\sin x$：$\dfrac{-\sqrt2\sin x}{x}\to-\sqrt2$。

不存在（右極限 $\sqrt2$，左極限 $-\sqrt2$）

詳解

根號內通分：$\dfrac1{x^2}-\dfrac1x=\dfrac{1-x}{x^2}$，所以

$$\sqrt{\frac{1-x}{x^2}}=\frac{\sqrt{1-x}}{|x|}=\frac{\sqrt{1-x}}{-x}\quad(x\lt0)$$

直接寫成 $\frac{\sqrt{1-x}}{x}$ 就掉進陷阱。接著湊 $\frac{\sin\square}{\square}$：

$$-\frac{\sqrt{1-x}\,\sin\frac x2}{x}=-\sqrt{1-x}\cdot\frac12\cdot\frac{\sin\frac x2}{\frac x2}\ \longrightarrow\ -1\cdot\frac12\cdot1$$

$-\dfrac12$

詳解

(a) 有理化兩次。先乘 $\sqrt{1+\sqrt{x+2}}+\sqrt3$，分子變成 $\sqrt{x+2}-2$；再乘 $\sqrt{x+2}+2$，分子變成 $x-2$，正好跟分母約掉：

$$\frac{1}{\bigl(\sqrt{1+\sqrt{x+2}}+\sqrt3\bigr)\bigl(\sqrt{x+2}+2\bigr)}\ \longrightarrow\ \frac{1}{2\sqrt3\cdot4}=\frac{1}{8\sqrt3}$$

(b) 乘 $\sqrt{1+\sqrt[3]x}+2$，分子變成 $\sqrt[3]x-3$。令 $u=\sqrt[3]x\to3$，分母 $x-27=u^3-27=(u-3)(u^2+3u+9)$：

$$\frac{1}{\bigl(\sqrt{1+u}+2\bigr)(u^2+3u+9)}\ \longrightarrow\ \frac{1}{4\cdot27}=\frac1{108}$$

(c) $x$ 在 $0$ 附近時 $2x+1\gt0$、$2x-1\lt0$、$x+2\gt0$、$x-2\lt0$，絕對值可以直接拆：

$$\frac{(2x+1)-(1-2x)}{(x+2)-(2-x)}=\frac{4x}{2x}=2$$

(d) 拆成三個已知零件：

$$\frac{1-\cos x}{\sin(x\sin x)}=\frac{1-\cos x}{x^2}\cdot\frac{x\sin x}{\sin(x\sin x)}\cdot\frac{x}{\sin x}\ \longrightarrow\ \frac12\cdot1\cdot1=\frac12$$

中間那項是 $\frac{\square}{\sin\square}$ 且 $\square=x\sin x\to0$。直覺上分子約 $\frac{x^2}2$，分母約 $x\cdot x$，比值 $\frac12$。講義答案 $1$ 是筆誤。

(e) 令 $u=x^{2020}\to0$，一層一層乘開：

$$\frac{\sin(\sin(\sin(\sin u)))}{\sin(\sin(\sin u))}\cdot\frac{\sin(\sin(\sin u))}{\sin(\sin u)}\cdot\frac{\sin(\sin u)}{\sin u}\cdot\frac{\sin u}{u}$$

每一項都是 $\frac{\sin\square}{\square}$ 且 $\square\to0$，乘起來是 $1$。

(a) $\dfrac1{8\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{24}$　(b) $\dfrac1{108}$　(c) $2$　(d) $\dfrac12$（講義寫 $1$，有誤）　(e) $1$

詳解

$\sin\frac1{x^{999}}$ 自己沒有極限（跟題 8(c) 一樣一直來回），所以不能用四則運算拆。但不管裡面是什麼，$-1\le\sin(\cdots)\le1$，乘上 $x^2\ge0$：

$$-x^2\le x^2\sin\frac1{x^{999}}\le x^2$$

兩邊的 $\pm x^2\to0$，由夾擠定理得極限為 $0$。

$0$

詳解

(a) $\frac{x}{|x|}$ 只取 $\pm1$，有界；$\sin x\to0$。由定理 2.4.2 得 $0$。（左右極限分別算也都是 $0$。）

(b) $\sin\frac1{x-1}$ 介於 $\pm1$；$\frac1{x^2+1}\le1$，所以 $0\lt e^{\frac1{x^2+1}}\le e$。這兩項的乘積有界，而 $\sin(\pi x)\to\sin\pi=0$，結果為 $0$。

(c) 高斯符號的基本不等式：$\dfrac1h-1\lt\left\lfloor\dfrac1h\right\rfloor\le\dfrac1h$。

• $h\gt0$：乘以 $h$ 不等號方向不變，$1-h\lt h\lfloor\frac1h\rfloor\le1$。
• $h\lt0$：乘以負數不等號反向，$1-h\gt h\lfloor\frac1h\rfloor\ge1$。

兩種情況都被 $1$ 和 $1-h$ 夾住，而 $1-h\to1$，所以極限是 $1$。

(d) 由內往外算。$x\to\frac13^+$ 表示 $x$ 略大於 $\frac13$，於是 $\frac1x$ 略小於 $3$，$\left\lfloor\frac1x\right\rfloor=2$。外層變成 $\left\lfloor\frac2x\right\rfloor$，而 $\frac2x$ 略小於 $6$，取整數部分得 $5$。在 $\frac13$ 右邊一小段內函數值恆為 $5$，極限就是 $5$。講義這小題沒附答案。

(a) $0$　(b) $0$　(c) $1$（與講義答案相同）　(d) $5$

詳解

情況 1：$x\to0^+$（取 $0\lt x\lt\frac\pi2$）。在單位圓上取圓心 $A$、$B=(1,0)$，$C$ 在圓上使 $\angle CAB=x$，$D$ 是射線 $AC$ 與過 $B$ 的鉛直切線的交點。半徑是 $1$，所以弧 $BC$ 長 $x$，$C$ 的高度是 $\sin x$，$BD=\tan x$。從圖上看（嚴格比較可以用面積：三角形 $ABC\le$ 扇形 $ABC\le$ 三角形 $ABD$）：

$$\sin x\le x\le\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$$

全部除以 $\sin x\gt0$ 再取倒數（不等號反向）：

$$\cos x\le\frac{\sin x}{x}\le1$$

$\displaystyle\lim_{x\to0^+}\cos x=1$，由夾擠定理，$\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{\sin x}{x}=1$。

情況 2：$x\to0^-$。令 $y=-x$，則 $y\to0^+$：

$$\lim_{x\to0^-}\frac{\sin x}{x}=\lim_{y\to0^+}\frac{\sin(-y)}{-y}=\lim_{y\to0^+}\frac{\sin y}{y}=1$$

左右極限都是 $1$，由定理 2.1.1 得證。

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$

詳解

$a\gt1$ 時 $a^x$ 遞增而且沒有上界：$x$ 每加 $1$ 就乘一次 $a$，所以 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}a^x=\infty$。

$x\to-\infty$ 時 $a^x=\dfrac1{a^{-x}}$，分母趨近 $\infty$，所以 $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}a^x=0$，$y=0$ 是水平漸近線。

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}a^x=\infty,\qquad\lim_{x\to-\infty}a^x=0$

詳解

(a) $10^x\to\infty$，分母爆掉，極限 $0$。

(b) $10^x\to0$，極限 $\frac21=2$。

(c) 最高次是 $x^3$。分子 $\sqrt{x^6+2025}=\sqrt{x^6}\sqrt{1+\frac{2025}{x^6}}=|x|^3\sqrt{1+\frac{2025}{x^6}}$，而 $x\lt0$ 時 $|x|^3=-x^3$。上下同除 $x^3$：

$$\frac{-\sqrt{1+\frac{2025}{x^6}}}{1-\frac3{x^2}+\frac2{x^3}}\ \longrightarrow\ \frac{-1}{1}=-1$$

這裡如果忘了負號會得到 $1$。

(d) $\infty-\infty$，有理化：

$$\begin{aligned} \sqrt{x^2+x}-x &= \frac{(x^2+x)-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x} \\ &= \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} \\ &= \frac{1}{\sqrt{1+\frac1x}+1} \\ &\longrightarrow \frac12 \end{aligned}$$

（倒數第二步上下同除 $x$，$x\gt0$ 所以 $\frac{\sqrt{x^2+x}}{x}=\sqrt{1+\frac1x}$。）

(a) $0$　(b) $2$　(c) $-1$　(d) $\dfrac12$

詳解

$x\gt0$，提示的不等式同除以 $x$：

$$1-\frac1x\le\frac{\lfloor x\rfloor}{x}\le1$$

左邊趨近 $1$，夾擠得 $1$。

$1$（與講義答案相同）

詳解

$\sin x$ 有界，$\frac1x\to0$，由定理 2.4.2 得 $0$。或寫成夾擠：$-\frac1x\le\frac{\sin x}{x}\le\frac1x$。注意跟 $x\to0$ 的那個重要極限是不同的題目。

$0$（與講義答案相同）

詳解

第一個：把分子分母拆成 $n$ 個分數相乘，

$$\frac{n!}{n^n}=\frac1n\cdot\frac2n\cdot\frac3n\cdots\frac nn$$

除了第一個 $\frac1n$，其餘每個分數都 $\le1$，所以 $0\lt\dfrac{n!}{n^n}\le\dfrac1n\to0$，極限為 $0$。

第二個：$|e^{-x}\sin x|\le e^{-x}\to0$，所以 $-e^{-x}\le e^{-x}\sin x\le e^{-x}$，夾擠得 $0$。

兩個都是 $0$

詳解

$\cos\sqrt{2024+x}$ 和 $\cos\sqrt x$ 各自都一直擺盪沒有極限，不能拆開算。用和差化積 $\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}2\sin\frac{A-B}2$：

$$-2\sin\left(\frac{\sqrt{2024+x}+\sqrt x}{2}\right)\sin\left(\frac{\sqrt{2024+x}-\sqrt x}{2}\right)$$

第二個 $\sin$ 裡面有理化：

$$\begin{aligned} \frac{\sqrt{2024+x}-\sqrt x}{2} &= \frac{2024}{2\bigl(\sqrt{2024+x}+\sqrt x\bigr)} \\ &= \frac{1012}{\sqrt{2024+x}+\sqrt x} \\ &\longrightarrow 0 \end{aligned}$$

所以第二個因子 $\to\sin0=0$，前面的 $-2\sin(\cdots)$ 介於 $\pm2$ 之間有界，由定理 2.4.2 得 $0$。

$0$

詳解

分母 $e^{2x}-4=(e^x-2)(e^x+2)$，而 $e^x+2\gt0$ 可以跟分子約掉：

$$f(x)=\frac{1}{e^x-2}$$

垂直：$e^x=2$ 即 $x=\ln2$。$x\to\ln2^+$ 時分母 $\to0^+$，$f\to+\infty$；$x\to\ln2^-$ 時 $f\to-\infty$。

水平：$x\to\infty$，$e^x\to\infty$，$f\to0$；$x\to-\infty$，$e^x\to0$，$f\to\frac1{0-2}=-\frac12$。

垂直漸近線 $x=\ln2$；水平漸近線 $y=0$ 與 $y=-\dfrac12$

詳解

水平：上下同除 $x$，$\dfrac{a+\frac5x}{\frac3x-b}\to\dfrac{a}{-b}$。要等於 $-3$，得 $a=3b$。

垂直：分母在 $x=5$ 為 $0$：$3-5b=0$，$b=\frac35$。於是 $a=\frac95$。

檢查：$f(x)=\dfrac{\frac95x+5}{3-\frac35x}=\dfrac{9x+25}{15-3x}$。$x=5$ 時分子 $70\ne0$，確實爆掉；$x\to\pm\infty$ 時趨近 $\frac9{-3}=-3$。

$a=\dfrac95,\ b=\dfrac35$（講義寫 $b=-\frac35$，有誤）

詳解

全部看 $\frac1x$ 跑到哪，再看 $e^{1/x}$：

• $x\to0^+$：$\frac1x\to+\infty$，$e^{1/x}\to\infty$，$f\to0$。
• $x\to0^-$：$\frac1x\to-\infty$，$e^{1/x}\to0$，$f\to\frac21=2$。
• $x\to\pm\infty$：$\frac1x\to0$，$e^{1/x}\to1$，$f\to\frac22=1$。

$0,\ 2,\ 1,\ 1$（與講義答案相同）

詳解

第一個：分子大約是 $\sqrt{e^{2x}}=e^x$。把它提出來：

$$\frac{\sqrt{e^{2x}+2025}}{3^x}=\sqrt{1+\frac{2025}{e^{2x}}}\cdot\left(\frac e3\right)^x\ \longrightarrow\ 1\cdot0=0$$

因為 $0\lt\frac e3\lt1$，它的 $x$ 次方趨近 $0$。也就是 $3^x$ 長得比 $e^x$ 快。

第二個：上下同除 $x$，$\dfrac{1-\frac{\cos x}x}{1+\frac{\cos x}x}$，而 $\frac{\cos x}{x}\to0$（有界乘以趨近 $0$），極限 $\frac11$。

$0$ 與 $1$（與講義答案相同）

詳解

$e^x$：題 27 取 $a=e$。

$\ln x$：長得很慢但沒有上界，要 $\ln x\gt M$ 只要 $x\gt e^M$。

$x^2$：$x$ 往負的方向越走越遠，平方是越來越大的正數。

三個都是 $+\infty$

詳解

$\ln u$ 會爆掉的情況有兩種：$u\to0^+$（$\ln\to-\infty$）或 $u\to+\infty$（$\ln\to+\infty$）。所以先把 $\ln$ 裡面通分。

$f$：

$$u=\frac{(x-1)(x-3)-(2x-1)}{(x-1)(x-3)}=\frac{x^2-6x+4}{(x-1)(x-3)}$$

分子的根是 $x=3\pm\sqrt5$（約 $0.76$ 與 $5.24$），分母的根是 $1$、$3$。正負號表：

$f$ 只定義在 $u\gt0$ 的區間。逐點檢查：

• $x\to(3-\sqrt5)^-$：$u\to0^+$，$f\to-\infty$。
• $x\to1^+$：分子趨近 $-1$，分母 $(x-1)(x-3)\to0^-$，$u\to+\infty$，$f\to+\infty$。
• $x\to3^-$：分子趨近 $-5$，分母 $\to0^-$，$u\to+\infty$，$f\to+\infty$。
• $x\to(3+\sqrt5)^+$：$u\to0^+$，$f\to-\infty$。

$g$：

$$\begin{aligned} u &= \frac{x^2-2x+1}{x^2} \\ &= \frac{(x-1)^2}{x^2} \\[4pt] g(x) &= \ln\frac{(x-1)^2}{x^2} \\ &= 2\ln\left|\frac{x-1}{x}\right| \end{aligned}$$

$x\to0$：$u\to+\infty$，$g\to+\infty$。$x\to1$：$u\to0^+$，$g\to-\infty$。

$f$：$x=1$、$x=3$、$x=3-\sqrt5$、$x=3+\sqrt5$；$g$：$x=0$、$x=1$